निम्नलिखित में से किस फलन का प्रतिलोम (invers | vedclass

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Question

(D) एक फलन $f: A 	o B$ व्युत्क्रमणीय (invertible) होता है यदि और केवल यदि वह एकैकी और आच्छादक (bijection) हो।विकल्प $A$: $y = e^x$,$R$ से $R^+$ पर एक

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$f : R 	o R^+ ; y = e^{[x]}$

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(D) एक फलन $f: A 	o B$ व्युत्क्रमणीय (invertible) होता है यदि और केवल यदि वह एकैकी और आच्छादक (bijection) हो।विकल्प $A$: $y = e^x$,$R$ से $R^+$ पर एक निरंतर वर्धमान फलन है,इसलिए यह एक bijection है और इसका प्रतिलोम परिभाषित है।विकल्प $B$: $x \in R^+$ के लिए $y = \log|x| = \log x$,जो $R^+$ से $R$ पर एक निरंतर वर्धमान फलन है,इसलिए यह एक bijection है और इसका प्रतिलोम परिभाषित है।विकल्प $C$: $y = \sin^3x$,$\left[ - \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} ight]$ पर $[-1, 1]$ में एक निरंतर वर्धमान फलन है,इसलिए यह एक bijection है और इसका प्रतिलोम परिभाषित है।विकल्प $D$: $y = e^{[x]}$ जहाँ $[x]$ महत्तम पूर्णांक फलन है। किसी भी $x \in [0, 1)$ के लिए,$[x] = 0$,इसलिए $y = e^0 = 1$। चूँकि यह फलन अंतराल $[0, 1)$ में सभी $x$ के लिए समान मान देता है,इसलिए यह एकैकी (one-to-one) नहीं है। अतः,यह एक bijection नहीं है और इसका प्रतिलोम परिभाषित नहीं किया जा सकता है।

निम्नलिखित में से किस फलन का प्रतिलोम (inverse) परिभाषित नहीं किया जा सकता है? (जहाँ $[.] \to$ महत्तम पूर्णांक फलन)

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यदि $f(x) = x^{11} + \sin^3(35x) + 111x$ है,तो $f^{-1}(\sin \frac{\pi}{5}) + f^{-1}(\sin \frac{6\pi}{5}) + f^{-1}(\sin \frac{\pi}{7}) + f^{-1}(\sin \frac{8\pi}{7})$ का मान किसके बराबर है?

कारण सहित बताइए कि क्या निम्नलिखित फलन $h: \{2, 3, 4, 5\} \rightarrow \{7, 9, 11, 13\}$ जहाँ $h = \{(2, 7), (3, 9), (4, 11), (5, 13)\}$ है,का प्रतिलोम (inverse) अस्तित्व में है?

यदि फलन $f(x) = -4e^{\left(\frac{1-x}{2}\right)} + 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3}$ और $g(x) = f^{-1}(x)$ है,तो $g'(-\frac{7}{6})$ का मान ज्ञात कीजिए।

$f(x) = \frac{8^{2x} - 8^{-2x}}{8^{2x} + 8^{-2x}}, x \in (-1, 1)$ का प्रतिलोम फलन (inverse function) ज्ञात कीजिए।

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